传统回声消除算法框架及LMS推导

整体框架

传统回声消除算法流程如图所示，首先滤波器估计回声路径$\hat{w}(n)$，通过自适应算法使$\hat{w}(n)$不断逼近真实的回声路径$w(n)$。$\hat{w}(n)$与远端信号$x(n)$卷积得到估计的回声$\hat{y}(n)$，从传声器信号$d(n)$中减去估计的回声信号 得到误差信号$e(n)$，误差信号会继续驱动自适应滤波器系数更新。双讲检测模块负责检测双讲，控制滤波器更新。经过自适应滤波处理后只能消除线性回声，残余回声需要通过后滤波模块抑制。

自适应滤波器

最小均方(Least Mean Square, LMS)算法维纳解推导

设输入信号$X(n)$表示第n时刻自适应滤波器的输入信号，其中$x(n)$为第n个采样时刻的采样值，$N$是滤波器的阶数，式子中$[·]^{\rm{T} }$为转置：

$$\vec X(n)=[x(n), x(n-1),...,x(n-N+1)]^{\rm{T} } \tag {1}$$

滤波器的权值向量为:

$$\hat W(n) = {[{\hat w_0}(n),{\hat w_0}(n), \cdots ,{\hat w_{N - 1} }(n)]^{\rm{T} } }\tag {2}$$

滤波器估计得到回声信号:

$$\hat y(n) = {\hat W^{\rm{T} } }(n)X(n)\tag {3}$$

从传声器信号中减去估计的回声可得误差信号$\hat{e}(n)$：

$$\hat{e}(n)=d(n)-\hat{y}(n)\tag {4}$$

LMS算法的最终目的是求出维纳解，而维纳滤波中的矩阵求逆运算量大且系统发生改变时无法实时跟踪，因此LMS算法通过最速下降法递归地调整滤波器的权值，并通过误差信号实时跟踪系统的变化。LMS算法将信号$e(n)$的最小均方误差作为代价函数$J(n)$：

$$J(n) = E[{e^2}(n)] \tag {5}$$

将$e(n)$展开可得$e(n)=d(n)-\vec W(n)\vec X(n)$得到下列代价函数：

$$J(n) = E[{d^2}(n)] - 2{\vec W^{\rm{T} } }(n)P(n) + {\vec W^{\rm{T} } }(n)R(n)\vec W(n)$$

其中$\vec P(n)$为传声器信号$d(n)$与远端信号$x(n)$的互相关向量，$R(n)$为输入信号的自相关矩阵。将代价函数对权值向量$W(n)$求导可得梯度向量：

$$\nabla (n) = \frac{ {\partial J(n)} }{ {\partial W(n)} } = - 2\vec P(n) + 2R(n)\vec W(n) \tag{6}$$

令梯度向量$\nabla (n)$等于0，得到维纳滤波的最优解：

$${\vec W_{opt} }(n) = {R^{ - 1} }(n)\vec P(n)\tag{7}$$

由上式能看出要得到维纳解，需要求出输入信号和期望信号之间的互相关向量$P(n)$，以及输入信号的自相关矩阵的逆矩阵${R^{ - 1} }(n)$，但输入信号和期望信号的统计特性无法获取。自相关矩阵的求逆运算量大，不适合需要实时处理的回声消除任务，而回声路径变化时需要重新计算维纳解。

LMS算法

相比于维纳滤波利用误差信号$e(n)$的统计平均值，LMS算法更加灵活和适应性更强。LMS算法可以根据实时的误差信号瞬时值来动态调整滤波器参数：

$$\hat \nabla (n) = \frac{ {\partial e^2(n)} }{ {\partial \vec W(n)} } = - 2e(n)\vec X(n) \tag{8}$$

滤波器权值向量的更新公式变为：

$$\hat W(n + 1) = \hat W(n) - \mu e(n) \vec X(n) \tag{9}$$

其中$μ$为步长因子可以人为设置，负责调整权重更新大小，其大小需要满足以下条件：

$$0 \le \mu \le \frac{2}{ { {\lambda _{ {\rm{ } }\max } } } } \tag{10}$$

${ \lambda _{ {\rm{ } }\max } }$是输入信号自相关矩阵R(n)的最大特征。

步长因子的推导

步长因子$μ$的推导可参考宋知用老师书上此处的公式：