NLMS算法推导
前情提要归一化最小均方(Normalized Least Mean Square, NLMS)算法是在LMS算法的基础上进行改进，主要改进在于引入了自适应步长的调整机制。详细原理可参考此篇博客传统回声消除算法框架及LMS推导。LMS算法的步长值是$μe(n)x(n)$，步长值会受输入信号$x(n)$大小的影响。NLMS算法根据输入信号$x(n)$的小自适应调整步长值，使得滤波器系数更新的时候能够更好地适应输入信号的动态范围。
NLMS算法推导NLMS算法是最小扰动原理的一种表现形式，从一次迭代到下一次迭代中，自适应滤波器系数$\hat{W}(n)$应当以最小方式改变，用公式(1)描述。而且受到更新的滤波器输出所施加的约束，用公式(2)描述：
\delta \hat{W}(n+1)=\hat{W}(n+1)-\hat{W}(n) \tag{1}
\hat{W}^{\rm{T} }(n+1) \vec X(n)=\hat{d}(n) \tag{2}使用拉格朗日乘子法$^{ [3] }$解决改约束问题，代价函数为：
J(n)=||\delta \hat{W}(n+1)||^2 + \la ...
传统回声消除算法框架及LMS推导
整体框架传统回声消除算法流程如图所示，首先滤波器估计回声路径$\hat{w}(n)$，通过自适应算法使$\hat{w}(n)$不断逼近真实的回声路径$w(n)$。$\hat{w}(n)$与远端信号$x(n)$卷积得到估计的回声$\hat{y}(n)$，从传声器信号$d(n)$中减去估计的回声信号 得到误差信号$e(n)$，误差信号会继续驱动自适应滤波器系数更新。双讲检测模块负责检测双讲，控制滤波器更新。经过自适应滤波处理后只能消除线性回声，残余回声需要通过后滤波模块抑制。
自适应滤波器最小均方(Least Mean Square, LMS)算法维纳解推导设输入信号$X(n)$表示第n时刻自适应滤波器的输入信号，其中$x(n)$为第n个采样时刻的采样值，$N$是滤波器的阶数，式子中$[·]^{\rm{T} }$为转置：
\vec X(n)=[x(n), x(n-1),...,x(n-N+1)]^{\rm{T} } \tag {1}滤波器的权值向量为:
\hat W(n) = {[{\hat w_0}(n),{\hat w_0}(n), \cdots ,{\hat w_{N - 1} ...
自适应滤波器原理
自适应滤波器1.维纳推导
输入信号X(n) 输出信号Y(n) 误差信号e(n)
误差信号均方值最小的准则
缺点：Rxx和Rxd需要计算且计算量大，如果信号非平稳还需重复计算
2.梯度下降法
以MSE为指标，因为滤波器系数滤波器系数的二次函数，因此该函数具有唯一的最小值。一般是采用梯度下降的方法来进行迭代搜索出最小值，一般都只能逼近维纳解，并不等同于维纳解。
梯度求解：
迭代公式：
步长因子μ推导：
3.NLMS推导
LMS的缺点：
w(n)的增量：
受制于以下的约束条件：
拉格朗日乘子法，代价函数为：
对代价函数求导，得到最优解：
代入约束条件，求解λ：
4.MDF滤波器推导
现有的缺点
分块自适应滤波器
按块更新参数不用按点更新提升运算速度
最优步长等于残余回声方差与误差信号方差之比
误差信号e(n)和滤波器系数w的更新方程：
滤波器的系数误差
Speex回声消除原理深度解析 - 爱酷媒 - 博客园 (cnblogs.com)
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